・宝島チャンネルで買い物をしたい
・宝島チャンネルのアカウントを持っていない
・Amazonアカウントは持っている
という状態でした。

1.宝島チャンネルのログインページで「amazonでログイン」画像を押す
2.Amazonのサイト上でログインして宝島チャンネルに戻る
3.「amazonでログイン」画像が消えている
4.カートに商品を入れても買い物ができない
→？？？

解決のためにいろいろ試しましたが、結果としてこちらの勘違いだったので、問い合わせの回答を書きます。

「Amazonアカウントでログイン」の表示は、ご利用のAmazonアカウントの情報を流用して、宝島チャンネルでのご購入とお買い物会員へご登録いただけるシステムです。

Amazonとの連携をご利用いただくとAmazonアカウントご登録情報内容が
宝島チャンネルの画面に反映され、そのままご購入手続きに進めます。
（Amazon連携後も、宝島チャンネルへのご登録は必須となります。）

つまり、
誤：Amazonのアカウントがあれば宝島チャンネルで買い物ができる
正：Amazonのアカウントがあれば宝島チャンネルのアカウント登録が簡単にできる
ということでした。

ちなみに、ブラウザの履歴を削除すると「amazonでログイン」画像は復活します。

送料はかかりますが、HMV&BOOKS onlineならローソン限定のものもアカウントを作成せずに購入できます。

なお、この記事を書くにあたって購入したものはこちらでした。

商品画像のためにAmazonのリンクを貼っていますが、3色全部欲しかったので実際にはHMV&BOOKS onlineを利用しました。